Народився 1 січня 1962 року в місті Елбурі, Австралія. Річард наймолодший з шести дітей. Спочатку він хотів стати економістом, але захоплення театром врешті-решт пересилило, і Роксбург поступив в Національний інститут драматичного мистецтва в Сіднеї. Він дебютував в телевізійній картині The Riddle of the Stinson (1987). Пізніше Річард з'явився в багатьох австралійських фільмах, а також в помітних ролях другого плану в багатьох голлівудських кінохітах, зазвичай в образі лиходія. Серед фільмів за участю Річарда Роксбура можна виділити наступні:
«Миссия невыполнима 2» (2000) ... Hugh Stamp;
«Мулен Руж» (2001) ... The Duke;
«Лига выдающихся джентльменов» (2003) ... M;
«Хрупкость» (2005) ... Robert Marcus.